單層完美石墨烯的理論比表面積推導

□ 劉田宇

（美國加州大學圣克魯茲分校）

【引言】

相信對石墨烯稍有了解的讀者對單層完美石墨烯^（注）的理論比表面積2630 m²/g一定不會陌生。這個數字被大家在文章中廣泛引用。然而，不知大家在引用時是否有思考過這個數值是怎么得來的？既然是理論值，表明這個數值并不是實際的測量值，而是通過計算推導出來的。今天就讓我們來一步步推導出這個“神奇”的數字。

[筆者注：“完美”表示無缺陷和無邊界，僅在熱力學0 K時可能。本篇文章為了行文簡潔，后文將“完美”定語省略。]

【推導】

整個推導過程僅需要基本幾何學知識和一丁點晶體化學的基礎。如圖1所示，單層石墨烯由許多正六邊形在二維空間中無限延伸而拼接形成。每個頂點的球代表一個碳原子。

第一步：比表面積是一個具有標量性質的物理量

同密度一樣，比表面積的大小不會隨著正六邊形數量的增加而增加。即只需要算出圖中任意一個正六邊形（如圖中突出顯示）的比表面積，其數值就等于整個單層石墨烯的理論比表面積。

圖1 | 單層石墨烯的結構示意圖

第二步：計算單個正六邊形的面積

根據基本幾何學，正多邊形的面積公式如下：

其中S代表面積，n代表邊數，r代表外接圓的半徑，α代表任意正多邊形任意一邊所對應的圓心角。對于正六邊形，n=6，α=360/6=60（度）。對于r，我們可以作圖2求解：

圖2 | 正六邊形外接圓

因為|OA|=|OC|=r，∠AOC=α=60度，故ΔAOC為等邊三角形。因此，r=|AC|=石墨烯中碳-碳鍵的長度=0.142 nm。把上述常數帶入方程（1）可算出單個正六邊形的面積：

第三步：計算單個正六邊形的質量

雖然看起來每個正六邊形皆含有六個碳原子，但這六個碳原子不僅僅屬于任何一個正六邊形的。如圖3所示，圖中的這個碳原子實際上是共屬于甲、乙、丙三個相鄰的正六邊形。這也就是說，對于每一個正六邊形只分到1/3個碳原子（這與“立方晶體的每個角對整個晶胞貢獻1/8個粒子”結論類似）。所以，每個正六邊形實際上共包括6×1/3=2個碳原子。

圖3 | 碳原子共享示意圖

因此，每個正六邊形的質量（m）等于兩個碳原子的質量：

其中m_c表示單個碳原子質量，M表示碳的摩爾質量，N_A為阿伏加得羅常數。

第四步：計算單個正六邊形比表面積

根據比表面積定義，

聯立方程（2）（3）（4）解得S_m=1314.4 (m²/g)。注意，這個數值僅是一個正六邊形的上（或下）表面的比表面積。考慮到對于單層石墨烯，正六邊形上下表面均處于暴露狀態，故每個正六邊形的實際理論比表面積應該為S_m的兩倍，即2628.8 m²/g，約等于2630 m²/g。

第五步：結論

再結合第一步的結論即得出單層石墨烯的比表面積為2630 m²/g。

【拓展】

1. 單層碳納米管與單層石墨烯微觀結構相同（均是正六邊形無限二維網絡）。只因為碳納米管相當于石墨烯卷，內表面因為被卷在里面而難以暴露出來，故而其理論比表面積僅為單層石墨烯的一半，即~1315 m²/g。對于多層碳納米管的理論比表面積，需要考慮各個碳納米管之間的距離和半徑。具體計算較為復雜，涉及級數。感興趣的讀者可參考文獻A. Peigney et al. Caron, 2001, 39(4), 507-514。
2. 2013年第45屆國際奧林匹克化學競賽理論試題部分第5大題是關于石墨烯的一道計算題。內容涉及這篇干貨文章的內容，同時還有氮氣吸附，有機物吸附熱力學計算等問題。感興趣的讀者可移步試題：http://icho2013.chem.msu.ru/en/problems-solutions/icho-2013-problems

美國紐約市立大學張先苗對本文進行了校讀，在此表示感謝。